ARTKEL

Kekuatan Komputasi Memberikan Ide Segar bagi Matematika

            Hanya delapan tahun kemudian, Yasumasa Kanada menggunakan komputer menemukan string tersebut, dimulai dari angka ke  22869046249 pi. Penrose jelas tidak sendiri dalam ketidakmampuannya melihat kekuatan besar yang dapat dibawa komputer. Banyak fenomena matematika yang di masa lalu terlihat tak terpecahkan dan tidak dapat diketahui, sekarang dapat diketahui, dengan presisi yang tinggi.

            Dalam artikelnya,  “Exploratory Experimentation and Computation,” yang tampil bulan November 2011 di  Notices of the American Mathematical Society, David H. Bailey dan Jonathan M. Borwein menjelaskan bagaimana teknologi komputer modern telah memperluas kemampuan kita mengetahui hasil matematika baru. “Dengan menghitung ekspresi matematika pada presisi sangat tinggi, komputer dapat menemukan hubungan dan rumus yang sepenuhnya tak terduga,” kata Bailey.

Matematika, Ilmu tentang Pola

            Mispersepsi umum adalah pekerjaan seorang matematikawan sepenuhnya adalah menghitung. Jika itu benar, komputer semestinya sudah menggantikan matematikawan sejak lama. Apa yang sesungguhnya dilkaukan matematikawan adalah menemukan dan menyelidiki pola – pola yang muncul dalam bilangan, dalam bentuk abstrak, dalam transformasi antara objek matematis berbeda, dan sebaginya. Mempelajari pola demikian membutuhkan alat yang tajam dan memuaskan, dan, hingga sekarang, komputer masih merupakan alat yang terlalu tumpul, atau tidak cukup kuat, untuk berguna banyak dalam matematika. Namun di saat yang sama, bidang matematika tumbuh dan menjadi semakin dalam sehingga sekarang beberapa pertanyaan yang muncul tampak membutuhkan kemampuan tambahan di luar otak manusia.

            “Ada consensus yang mulai diterima kalau pikiran manusia pada dasarnya tidak bagus dalam matematika dan harus dilatih,” kata Bailey. “Dengan fakta ini, komputer dapat dilihat sebagai pelengkap manusia – kita dapat berintuisi namun tidak pandai menghitung atau memanipulasi; komputer tidak pandai berintuisi namun bagus  dalam menghitung dan memanipulasi.”

             Walaupun matematika disebut sebagai “ilmu deduktif”, matematikawan selalu memakai eksplorasi, apakah lewat perhitungan atau gambar, untuk menguji gagasan dan memperoleh intuisi, dengan cara yang kurang lebih sama dengan ilmu induktif melakukan eksperimen. Sekarang, aspek induktif matematika ini tumbuh lewat pemakaian komputer, yang telah meningkatkan jumlah dan tipe eksplorasi yang dapat dilakukan. Komputer tentunya digunakan untuk meringankan beban menghitung, namun ia juga dipakai untuk memvisualisasi objek matematika, menemukan hubungan baru antar objek tersebut, dan menguji (dan khususnya memfalsifikasi) konjektur. Seorang matematikawan juga memakai komputer untuk mengeksplorasi hasil untuk melihat apakah ia pantas untuk mencoba melakukan pembuktian. Jika demikian, maka kadangkala komputer dapat memberi petunjuk tentang bagaimana bukti dapat diteruskan. Bailey dan Borwien memakai istilah “matematika eksperimental” untuk menjelaskan jenis pemakaian komputer ini dalam matematika.

Mengeksplorasi Bilangan Prima dengan Komputer

            Artikel mereka memberi beberapa contoh matematika eksperimental: perhitungan angka pi yang disebut di atas adalah salah satunya. Contoh lain disediakan oleh eksplorasi komputer pada masalah matematika yang disebut konjektur Giuga. Konjektur ini mengajukan kalau, untuk setiap bilangan bulat positif n, kita dapat menguji secara pasti apakah n bilangan prima atau bukan dengan menghitung jumlah pasti dimana n muncul dalam eksponen penjumlahan. Jumlah tersebut harus memiliki nilai tertentu, sebut saja S, jika dan hanya jika n adalah bilangan prima; dikatakan secara berbeda, jumlah tersebut tidak akan memiliki nilai S jika dan hanya jika n bilangan komposit. Walaupun konjektur ini dibuat tahun 1950, ia belum dapat terbukti hingga sekarang dan terlihat diluar jangkauan metode matematika konvensional.

             Walau begitu, Bailey dan Borwein, bersama dengan kolaboratornya, mampu memakai komputer untuk menunjukkan kalau setiap bilangan yang merupakan pengecualian dari konjektur Giuga harus memiliki lebih dari 3,678 faktor prima dan lebih dari 17,168 angka desimal panjangnya. Yaitu, setiap bilangan komposit yang lebih pendek tidak dapat memberikan nilai S. Ini tidak membuktikan kalau konjektur Giuga benar, namun adalah bukti yang meyakinkan dalam mendukung kebenaran konjektur tersebut. Jenis bukti empiris ini kadang yang dibutuhkan untuk memberikan keyakinan yang cukup bagi matematikawan untuk mendedikasikan energinya mencari bukti penuh. Tanpa keyakinan tersebut, inspirasi untuk mencari bukti mungkin tidak ada.

Dampak pada Pendidikan

            Selain membahas pemanfaatan komputer dalam matematika, artikel ini juga menyentuh kebutuhan untuk menyusun ulang pendidikan matematika untuk memberi pelajar alat matematika eksperimental. “Pelajar masa kini hidup, seperti kita, di dalam dunia kaya informasi tapi miskin penilaian dimana ledakan informasi, dan alat, tidak akan hilang,” kata Borwein. “Jadi kita harus mengajarkan penilaian (bukan hanya masalah plagiarism( ketika memakai apa yang telah tersedia secara digital. Selain itu, tampak bagi saya penting kalau kita merancang desain software – dan gaya mengajar kita secara umum – dengan pemahaman kita yang semakin besar mengenai kekuatan dan keterbatasan kognitif kita sebagai spesies.”